Как выбрать из трех вариантов

 Размещения без повторений. Размещения с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В  данной  задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким  образом,  задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Решение

Можно  считать,  что  опыт  состоит  в 5-кратном выборе  с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом,  число  пятизначных  номеров  определяется  числом  размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

 Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной  совокупностью  являются 4  буквы слова  «брак» (б, р, а, к). Число  «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе

ya-znau.ru

Выбор и покупка товаров: критерии и метод

Моя девушка решила купить Айпад, но никак не могла выбрать подходящий — и попросила меня помочь.

Олег Садовников

руководитель проектов

Мы рассмотрели пять вариантов, у каждого нашлись свои плюсы и минусы. Один работает с фирменной клавиатурой-чехлом и меньше грузит глаза, но при этом он тяжелый и дорогой. Другой дешевле, но экран там похуже, а клавиатуру-чехол он не поддерживает. Третий выглядит компромиссом между первыми двумя, но у него хуже снимают камеры и два динамика вместо четырех.

Из-за большого количества свойств выбирать можно долго. За это время может поменяться настроение или зарплата — и время будет потрачено впустую. Чтобы этого избежать, я пользуюсь методом, который помогает сравнить все свойства и сразу понять, какая покупка больше подходит.

Мой метод подходит для выбора дорогих покупок с большим количеством свойств: техники, мебели, участка земли, накопительного счета в банке, страховки от несчастного случая, путевки на Марс. В этой статье я покажу метод в действии: сначала выберем девушке Айпад, потом примеримся к вкладу в банке.

В жизни Айпад мы выбирали из пяти вариантов, но для статьи оставлю три, чтобы было проще разобраться в методе. Оставшиеся два добавим в конце.

Шаг 1

Определяю важные свойства

На выбор покупки влияют не все ее свойства, а только важные. Айпад нужен девушке для работы с текстом, деловой переписки, отдыха, чтения книг и просмотра фильмов. Ей важна масса планшета, размер экрана, антибликовое покрытие, подстройка под освещение. А разблокировка по лицу и совместимость с фирменным пером «Эпл» большой роли не играют. Ну и, конечно, почти всегда важна цена.

В первую очередь я собираю важные свойства в одну таблицу. Чем больше свойств, тем точнее выбор, поэтому если сомневаюсь в каком-то свойстве, то все равно его добавляю. В случае Айпада я не уверен, что девушке важна производительность процессора, но на всякий случай все равно ее учел.

Шопоголикам. Способ защиты от спонтанных покупок

Если какое-то свойство у всех вариантов одинаковое, как время работы батарейки, я его все равно оставляю — просто чтобы не забыть. Кроме того, всегда может появиться вариант, у которого это свойство отличается.

Шаг 2

Оцениваю свойства

В получившейся таблице я оцениваю свойства Айпадов. Сколько вариантов свойств, столько и вариантов оценок. Например, у всех Айпадов цена разная, поэтому оценки — от 1 до 3. А у антибликового покрытия только два значения, «есть» или «нет», поэтому оценки — 1 или 2.

На этом этапе лучший выбор — Айпад-эйр. Но это если все свойства одинаково важны.

Шаг 3

Уточняю выбор

Если первое место занимают два варианта или одни свойства выглядят важнее других, я распределяю все свойства по важности. Для этого я добавляю в таблицу еще одну колонку — «Важность свойств». Это коэффициент, на который я потом умножаю оценку каждого свойства.

Как грамотно потратить и сэкономить

Рассказываем в нашей рассылке дважды в неделю. Подпишитесь, чтобы совладать с бюджетом

Важность свойств оценивается от 1 до количества свойств, в нашем случае — от 1 до 12, где 12 — самое важное свойство. Главный принцип — одинаково важных свойств нет, поэтому коэффициент у всех свойств разный.

Как купить Макбук со скидкой

Если оценка для нескольких вариантов оказывается одинаковой, я добавляю еще свойство или убираю менее важное. Для Айпада этого делать не пришлось: лучшим для девушки по результатам сравнения остался Айпад-эйр.

А теперь то же самое, но с банковским вкладом

Метод подходит и для выбора услуг, например вклада в банке. Возьмем три вклада и изучим их свойства. Все параметры я взял у настоящих банков, но в этой статье для большей объективности назову их «Первый вклад», «Второй вклад» и «Третий вклад».

Как правильно рассчитать проценты по вкладу

Чтобы свойства было проще оценивать, иногда их удобно делить по группам. Вклад в банке — как раз такая ситуация. У меня получилось три группы: выгода, надежность, удобство.

Наши банки предлагают примерно одинаковые вклады, поэтому итоговый выбор будет зависеть от приоритетов. В таблице я расставил их так: важнее всего выгода, потом надежность, а в конце — удобство.

Субъективные свойства

При выборе планшета или вклада в банке главную роль играют объективные свойства: цена, доходность, размер экрана. Но для некоторых покупок субъективные свойства — например дизайн кресла или звучание музыкального центра — не менее важны. Их точно так же можно добавлять в таблицу и оценивать.

Некоторые решения опираются почти только на субъективные свойства. Скажем, при выборе ресторана я оцениваю атмосферу и вкус еды. А при выборе подарка — какое впечатление он произведет на человека. В этом случае появляются такие свойства, как масштабность подарка, желаемость и уровень неожиданности.

Субъективные свойства оценивать сложнее, чем объективные. Но если приноровиться, с их помощью можно принимать самые сложные решения. Например, какого президента выбрать или что надеть на работу.

Когда метод не работает

Выписывать и сравнивать свойства не имеет смысла, если их мало или цена выбора невелика. Скажем, при заказе пиццы или покупке носков.

Метод не работает и в ситуациях, когда какое-то свойство имеет слишком большое или слишком маленькое значение. Если вы хотите купить самую дорогую путевку или вон ту белую машину, бесполезно сравнивать объективные свойства покупок. А если есть предубеждение, скажем, против Андроида, то никакие доводы не убедят поменять «Эпл» на «Самсунг».

Для остальных ситуаций я подготовил шаблон таблицы: сделайте копию документа, выпишите варианты и оцените свойства. Оценки с учетом важности подсчитываются автоматически и суммируются в конце таблицы.

Как быстрее выбирать покупки

1. Запишите в таблицу все варианты покупки и их свойства, которые считаете важными.
2. Для каждого свойства расставьте баллы для вариантов от худшего к лучшему — получится рейтинг свойств.
3. Оцените свойства от наименее к наиболее важному — получится коэффициент важности свойств.
4. Для каждого свойства у каждого варианта умножьте рейтинг на коэффициент.
5. Для каждого варианта сложите оценки всех свойств. Вариант с наибольшей оценкой — то, чего вы сейчас хотите.
6. Для ускорения процесса воспользуйтесь шаблоном таблицы.

journal.tinkoff.ru

Решение более сложных задач по комбинаторике. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Из 2 математиков и 10 экономистов надо составить комиссию из 10 человек. Сколько есть способов сделать это при условии, что в комиссии должен участвовать хотя бы 1 математик?

Решение

Рассмотрим два случая:

1. В комиссии будет один математик.

Существует 2 способа выбрать 1 математика из 2. Из 10 экономистов нужно выбрать 9 человек; количество способов выбрать из 10 человек 9 – это . Следовательно, всего способов:

Однако можно посчитать иначе: выбирать не 9 экономистов из 10, а выбрать 1 экономиста из 10, который не попадет в комиссию, то есть:

2. В комиссии будет более одного математика, то есть 2.

Существует 1 способ выбрать 2 математиков из 2. Оставшиеся восемь человек комиссии должны быть экономистами. Количество способов выбрать 10 человек 8 – это . Следовательно, всего способов:

3. Складываем количество способов в первом и во втором случае:

Ответ: 65 способов.

Сколько есть способов составить ожерелье из 5 одинаковых красных бусинок и 2 одинаковых синих бусинок?

Решение

Ожерелье может быть замкнутым и незамкнутым.

1. Если ожерелье замкнутое, то между синими бусинками может находиться или 0, или 1, или 2 красных бусинок (если между синими находятся 3, 4 или 5 красных, то это тоже самое, что и 0, 1, 2, только с другой стороны) (см. Рис. 1). Следовательно, существует три варианта расположения 2 синих и 5 красных бусинок на замкнутом ожерелье.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

2. Если ожерелье незамкнутое (см. Рис. 2), тогда количество вариантов определяется также положением синих бусинок. Количество способов выбрать 2 места из 7 – это .

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ: 1. Если ожерелье замкнутое, то существует три способа составить ожерелье; 2. Если ожерелье незамкнутое, то существует 21 способ составить ожерелье.

План города имеет вид прямоугольника  (см. Рис. 3). Его улицы идут строго параллельно сторонам. На каждом перекрестке водитель имеет право ехать либо вправо, либо вверх. Сколько существует различных маршрутов добраться из нижнего левого угла в правый верхний?

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение

Движение водителя задается последовательностью движений вправо (П) и вверх (В). Например: если водитель использует схему движения, показанную на рисунке 4, то он 10 раз (10 клеточек) едет вправо (П), а затем 5 раз (5 клеточек) вверх (В):

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Если водитель использует схему движения, показанную на рисунке 5, то он едет 1 раз вверх (В), 1 раз вправо (П), 1 раз В, 1 П, 1 В, 1 П, 1 В, 1 П, 1 В, 6 П:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Таким образом, каждый маршрут водителя задается последовательностью из 15 символов В и П, при этом водитель каждый раз смещается на 10 единиц вправо и на 5 единиц вверх. Следовательно, из 15 символов 5 будут символами В, а 10 будут символами (П). Поэтому для решения задачи необходимо найти количество способов выбрать 5 мест из 15, в которых водитель поедет вверх. Это будет .

Ответ:  маршрутов.

Даны 2 слова: «интегрирование» и «суперкомпьютер». Вася посчитал, сколько получается слов из слова «интегрирование», если вычеркнуть в нем 2 произвольные буквы (получившиеся слова не обязательно осмысленные). Маша сделала то же самое для слова «суперкомпьютер». У кого слов получилось больше?

Решение

В данных словах одинаковое количество букв (по 14), поэтому вычеркнуть две буквы из каждого из них можно одинаковым количеством способов. Заметим, что при вычеркивании двух букв из слова «суперкомпьютер» все полученные слова будут различны, а при вычеркивании букв РИ и ИР из слова «интегрирование» получается одно и то же слово «интегрование». Поэтому, у Маши получится на одно слово больше.

Количество способов выбрать 2 буквы из 14 – это , именно столько слов будет у Маши, а у Васи будет  слов.

Ответ: больше слов получилось у Маши.

Сколько существует способов рассадить за круглый стол 5 юношей и 5 девушек так, чтобы они чередовались?

Решение

На рисунке 6 изображен стол, на котором для удобства пронумерованы места.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Предположим, что на месте номер 1 сидит юноша. Тогда все юноши садятся через 1 от этого места (на нечетные места), а девушки – на четные. Количество способов усадить 5 юношей на 5 кресел (количество перестановок) – это , количество способов усадить 5 девушек на 5 кресел – это также . Значит, всего вариантов усадить юношей и девушек – это . Однако на месте номер 1 может сидеть девушка (на четных – юноши, на нечетных – девушки), тогда окончательный ответ будет в два раза больше, то есть .

Ответ:  способов.

В стране есть 20 городов, которые соединены между собой 172 авиалиниями. Предположим, что между двумя городами есть только одна авиалиния. Докажите, что из любого города можно попасть в любой город, возможно, с пересадками.

Доказательство

Докажем от противного.

Предположим, что есть города  и  такие, что из  нельзя долететь в . Тогда какой бы мы ни взяли город , одновременно существовать авиалинии  и  не могут (если существуют обе, можно долететь из  в  с пересадкой), и так для любого города из оставшихся 17 (см. Рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Следовательно, отсутствует авиалиния  и еще 18 авиалиний, которые связывают другие города либо с городом , либо с городом , то есть всего отсутствует 19 авиалиний.

В стране 20 городов, следовательно, всего теоретически возможно провести  авиалиний.

Тогда если из 190 возможных авиалиний 19 отсутствуют, то присутствует всего:

 авиалиния

Однако это противоречит условию:

Следовательно, исходное предположение неверно, а из любого города можно попасть в любой.

Пример

Задача 7

Дано слово «логарифм». Сколько существует способов поменять местами буквы в этом слове так, чтобы в полученном буквосочетании согласные были упорядочены по алфавиту слева направо?

Решение

Например, нам подойдут следующие буквосочетания: ОАИГЛМРФ или ГОАЛИМРФ, или ГЛМАИРОФ. В каждом буквосочетании согласные идут в определенном порядке по алфавиту (ГЛМРФ), следовательно, общее количество вариантов таких буквосочетаний определяется только 3 гласными. Поэтому достаточно определить 3 места из 8 для гласных, после чего все буквы расставляются однозначно. А это будет  способов.

Ответ: 336 способов.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1.  Интернет-сайт «Математический тандем» (Источник)

2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

3. Интернет-сайт «МатБюро» (Источник)

Домашнее задание

1. Глава 20, задания 56, 67, 82 (стр. 382–386) – М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. (Источник).

2. У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого на правую)?

3. Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

4. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

interneturok.ru

16 психологических тестов, после которых вы узнаете о себе всё

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Проходить тесты — любимое времяпрепровождение многих людей. Узнаем ли мы о себе что-то новое или убеждаемся в давно знакомых вещах — это не важно. Главное, мы заново знакомимся сами с собой, получаем колоссальное удовольствие от процесса и, конечно же, наслаждаемся результатом.

AdMe.ru разделяет эту любовь и поэтому собрал все самые авторитетные психологические тесты в одном месте.

Темперамент

Что расскажет: Кто вы по темпераменту: сангвиник, флегматик, меланхолик, холерик, а также определит вашу эмоциональную устойчивость.

Как проходить: Максимально правдиво отвечайте на вопросы, стараясь не задумываться над ответом.

Что расскажет: Имеются ли у вас какие-нибудь особенности поведения или предрасположенность к заболеваниям.

Как проходить: На каждом этапе теста будет предложено 8 портретов людей, вам необходимо будет выбрать сначала две самые понравившиеся фотографии (по убыванию), а потом две самые отталкивающие фотографии (тоже по убыванию).

Что расскажет: Какие у вас ведущие черты характера, покажет степень самосознания и уровень самооценки.

Как проходить: Отвечать надо быстро, не задумываясь, тут нет «плохих» или «хороших» ответов.

Тип личности

Что расскажет: Какими особенностями поведения в группе, семье и личных отношениях вы обладаете.

Как проходить: Необходимо определить, насколько приведенное утверждение вам подходит по 4-балльной шкале.

Что расскажет: Какие черты доминируют в вашем характере. Выявит также второстепенные качества, которые участвуют в его формировании.

Как проходить: Отвечая на вопросы, не думайте о конкретном моменте или настроении, берите за основу ваше стандартное поведение.

Что расскажет: Какие особенности характера, склонности и интересы вам свойственны.

Как проходить: Отвечать стоит быстро, правдиво и максимально точно.

Профориентация

Что расскажет: С какими профессиями перекликаются ваши склонности и способности.

Как проходить: Из двух предложенных вариантов необходимо будет выбрать один наиболее желательный или наименее противный.

Что расскажет: Какие направления деятельности соотносятся с вашим типом личности.

Как проходить: Вам будет предложено три варианта ответа: «Согласен», «Не согласен» и «Трудно сказать». Выбирать нужно, основываясь на своих ощущениях.

Что расскажет: Какие основные мотивационные рычаги движут вашими действиями и решениями.

Как проходить: Отвечая на вопросы, вы подтверждаете либо опровергаете ваше поведение в данных ситуациях. Давайте ответ честно и быстро.

IQ

Что расскажет: Какой у вас уровень IQ.

Как проходить: В предложенных игровых ситуациях нужно будет сделать выбор, исходя из своих предположений, вычислений и идей.

Что расскажет: Какие у вас способности к обобщению и анализу, скорость восприятия материала, точность его оценки и гибкость мышления.

Как проходить: Старайтесь не задерживаться над одним заданием долго, лучше переходите к следующему. Тут важна скорость принятия решения и поверхностная оценка ситуации.

Что расскажет: На каком уровне развития находятся ваши вербальные и невербальные составляющие интеллекта.

Как проходить: На весь тест дается 15 минут, задания по ходу решения будут усложняться. Важно постараться выполнить их все.

Восприятие

Что расскажет: Какой канал восприятия вы используете для контакта с внешним миром.

Как проходить: В тесте необходимо будет выбрать один, верный для вас вариант из предложенных.

Здоровье

Что расскажет: Находитесь ли вы в стрессе, есть ли у вас чувство а

www.adme.ru

Методы решения комбинаторных задач

При решении многих практических задач приходится использовать комбинации элементов,  выбирать из данной совокупности те, которые имеют определенные свойства, и размещать их в определенном порядке. Такие задачи называются комбинаторными. Раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями, называется комбинаторикой. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский язык означает – «сочетать», «соединять».

Выбранные группы элементов называют соединениями. Если все элементы соединения разные, то получаем соединения без повторений, которые и рассмотрим ниже.

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Задача 1.

В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение.

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

Ответ: 24.

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема.

Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.

Задача 2.

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

Решение.

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A₇³ = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Ответ: 210.

Задача 3.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

Решение.

На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:

A₁₀⁷ – A₉⁶ = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Ответ: 544 320.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Решение.

Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит  это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р₈. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р₅ способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р₈ · Р₅ = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.

Ответ: 8! · 5!

Задача 5. 

В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?

Решение.

Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:

С₁₆⁴ · С₁₂³ = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Ответ: 400 400.

Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать комбинаторные задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Урок 8: Комбинаторика - 100urokov.ru

План урока:

Комбинаторика и ее основные принципы

Перестановки

Перестановки с повторениями

Размещения

Сочетания

Комбинаторика и ее основные принципы

Очень часто приходится решать задачи, в которых надо посчитать количество возможных вариантов для той или иной ситуации. Например, сколько позиций может возникнуть на шахматной доске после первого хода обоих игроков? Сколько разных паролей длиною в десять символов можно записать, если ни один символ не использовать дважды? Сколько разнообразных комбинаций чисел может выпасть при игре в лотерею «6 из 49»? На все эти вопросы помогает ответить специальный раздел математики, называемый комбинаторикой. Почти всегда комбинаторную задачу можно сформулировать так, чтобы ее вопрос начинался словами «сколькими способами…».

Очевидно, что если в конечном множестве содержится n элементов, то есть ровно n способов выбрать один из них.

Пример. В классе 15 человек. Сколькими способами учитель может назначить одного из них ответственным за чистоту доски?

Ответ. Таких способов ровно 15.

В комбинаторике существует два основных правила. Первое из них называется правилом сложения.

Несмотря на формулировку, по сути это очень простое правило.

Пример. В магазине продается 14 телевизоров Panasonic и 17 телевизоров Sony. Петя хочет купить один телевизор. Сколько у него вариантов покупки?

Решение. По правилу сложения Петя может выбрать один из 14 + 17 = 31 телевизоров.

Ответ: 31 телевизор.

Особое значение имеет второе правило, которое называют правилом умножения.

Проиллюстрируем это правило.

Пример. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него?

Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.

Ответ: 300

Пример. Пете нужно купить технику для компьютера. В магазине продается 20 различных клавиатур, 25 моделей геймпадов и 30 компьютерных мышей. Купить надо по одному экземпляру каждого из этих устройств. Сколько вариантов покупки есть у него?

Решение. Сначала подсчитаем число возможных пар «клавиатура-геймпад». Их количество равно 20•25 = 500. Теперь составим «тройку» из одной из 500 пар и одной из 30 мышей. Число троек равно 500•30 = 15000.

Ответ: 15000

Правила сложения и умножения можно комбинировать.

Пример. Сколько слов не более чем из трех букв можно составить, используя алфавит, содержащий ровно 30 букв?

Решение. Очевидно, что слов из одной буквы можно составить ровно 30. Количество двухбуквенных слов равно количеству пар, которые можно составить из этих букв, то есть 30•30 = 900. Трехбуквенных слов можно составить 30•30•30 = 27000. Всего же слов длиною не более 3 букв будет

30 + 900 + 27000 = 27930

Ответ: 27930

Далее мы изучим основные понятия комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки

Рассмотрим простейшую комбинаторную задачу. На полке расставляют по порядку книги. Их ставят вертикально друг за другом. Сколькими способами можно расставить на полке 2 книги? Очевидно, что двумя:

Либо синяя книжка будет первой слева, либо она будет находиться в конце полки, третьего варианта здесь нет. Здесь условно считается, что варианты, когда между книгами есть зазоры, идентичны вариантам без зазоров:

То есть нас интересует исключительно порядок, в котором стоят книги. Каждый из найденных вариантов называется перестановкой книг. Перестановкой называют любое конечное множество, для элементов которого указан порядок элементов.В комбинаторике перестановки являются одними из основных объектов изучения.

Например, если в забеге на 100 метров стартует 8 спортсменов, то они образуют множество участников забега. После финиша становится известно, кто занял 1-ое место, кто оказался вторым или третьим, а кто стал последним. Результат забега будет перестановкой, ведь он представляет собой список спортсменов с указанием их мест, то есть он определяет порядок между ними.

Вернемся к примеру с книгами. Обозначим количество возможных перестановок n элементов как Р_n. Две книжки можно расставить двумя разными способами, поэтому Р₂ = 2. Обозначим эти перестановки как АБ и БА. Сколько способов расстановки есть в случае трех книжек? Их все можно получить из вариантов с 2 книжками, добавляя между ними книгами ещё один том:

Видно, что между 2 книгами есть три позиции, на которые можно поставить 3-ий том. Общее количество вариантов равно произведению числа этих позиций и количества вариантов для 2 книг, то есть Р₃ = 3•Р₂ = 3•2 = 6:

Итак, мы имеем 6 перестановок для 3 книг:

ВАБ

АВБ

АБВ

ВБА

ВБА

БАВ

А сколько перестановок существует для 4 книг? Снова-таки, между тремя книгами 4-ый том можно поставить четырьмя способами:

То есть из перестановки трех книг АБВ можно получить 4 перестановки:

ГАБВ

АГБВ

АБГВ

АБВГ

Всего существует 6 перестановок для 3 книг (Р₃ = 6), и для каждой из них можно построить 4 перестановки из 4 книг. Получается, что общее количество перестановок 4 книг равно

Р₄ = 4Р₃ = 4•6 = 24.

Продолжая подобные рассуждения, можно убедиться, что количество перестановок 5 предметов в 5 раз больше, чем перестановок для 4 объектов:

Р₅ = 5Р₄

И вообще, если число перестановок n объектов равно Р_n, то количество перестановок (n + 1)объекта равно в (n + 1)раз больше:

Р_n+1 = (n + 1)Р_n

При этом отметим, что 1 книгу можно расставить на полке только одним способом:

То есть Р₁ = 1. Теперь выпишем значения чисел Р при разном количестве переставляемых предметов, используя формулуР_n+1 = (n + 1)Р_n

Р₁ = 1

Р₂ = 2•Р₁= 2•1 = 2

Р₃ = 3Р₂ = 3•2•1 = 6

Р₄ = 4Р₃ = 4•3•2•1 = 24

Р₅ = 5Р₄ = 5•4•3•2•1 = 120

Видно, что количество перестановок n объектов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n. В математике есть специальная функция для вычисления значения этого произведения. Она называется факториалом и обозначается восклицательным знаком.

Например, факториал 6 вычисляется так:

6! = 1•2•3•4•5•6 = 720

Мы убедились на примере с книгами, что количество перестановок из n различных объектов, которое обозначается как Р_n, равно n!.

Относительно факториала надо заметить несколько важных моментов. Во-первых, очевидно, что факториал единицы равен 1:

1! = 1

Во-вторых, иногда в комбинаторных задачах приходится вычислять факториал нуля. По ряду соображений эта величина также принимается равной единице

0! = 1

Объяснить это можно так. Факториал числа можно представить как произведение этого числа и факториала предыдущего числа, например:

5! = 1•2•3•4•5 = (1•2•3•4)•5 = 4!•5

7! = 1•2•3•4•5•6•7 = (1•2•3•4•5•6)•7 = 6!•7

В общем случае формула выглядит так:

n! = (n– 1)!•n

Из неё несложно получить, что

(n– 1)! = n!/n

Например: 5! = 4!•5

Подставив в эту формулу единицу, получим

(1 – 1)! = 1!/1

0! = 1/1

0! = 1

Пример. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?

Решение. Количество таких способов равно числу перестановок 4 различных объектов Р₄:

Р₄ = 4! = 1•2•3•4 = 24

Ответ: 24

Пример. Вася решил изучать сразу 7 иностранных языков, причем на занятия по каждому из них он собирается выделить ровно один день в неделе. Сколько вариантов расписаний занятий может составить себе Вася?

Решение. В данном случае расписание занятий – это порядок, в котором Вася в течение недели будет изучать иностранные языки, например:

Такое расписание можно описать последовательностью символов:

Ф, Ан, И, К, Я, Ар, П

Создавая расписание, Вася переставляет 7 языков, поэтому общее количество расписаний равно 7!:

Р₇ = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040

Ответ: 5040

Пример. Сколько пятизначных цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, причем каждую не более одного раза?

Решение. Общее количество перестановок 5 цифр составляет Р₅. Однако нельзя начинать запись числа с нуля. Так как, перестановка 12340 – это пятизначное число (двенадцать тысяч триста сорок), а перестановка 03241 – не является пятизначным числом.

Расстановок, начинающихся с нуля, ровно Р₄, поэтому общее количество допустимых цифр равно Р₅ – Р₄:

Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Ответ: 96

Пример. На полке расставляют 7 книг, однако 3 из них образуют трехтомник. Тома трехтомника должны стоять друг за другом и в определенном порядке. Сколько существует способов расстановки книг?

Решение. Будем считать трехтомник одной книгой. Тогда нам надо расставить 5 книг

Р₅ = 5! = 120

Ответ: 120

Пример. Необходимо расставить 7 книг на полке, но три из них принадлежат одному автору. Их надо поставить друг с другом, но они могут стоять в любом порядке. Сколько возможно перестановок книг.

Решение. Снова будем считать три книги как один трехтомник. Получается, что существует 5! = 120 вариантов. Однако каждому из них соответствует 3! = 6 расстановок книг внутри трехтомника, например:

В итоге на каждую из 120 расстановок приходится 6 вариантов расстановки трехтомника, а общее число расстановок равно, согласно правилу умножения, произведению этих чисел:

120•6 = 720

Ответ: 720

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

А1АБ и АА1Б

А1БА и АБА1

БА1А и БАА1

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р₂ = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

6:2 = 3

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Р₄/Р₃ = 4!/3! = 24/6 = 4

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

Р_n(n₁, n₂, n₃,… n_k)

где n – общее количество объектов, а n₁, n₂, n₃,… n_k – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р₄(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Пример. Вася решил, что ему стоит изучать только два иностранных языка. Он решил 4 дня в неделю тратить на английский, а оставшиеся три дня – на испанский. Сколько расписаний занятий он может себе составить.

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n₁ = 3, а n₂ = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Ответ: 35

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе.

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n₁ = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n₂ = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому n_k = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

Ответ: 60

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Размещения

Пусть в футбольном турнире участвуют 6 команд. Нам предлагают угадать те команды, которые займут призовые места (то есть первые три места). Сколько вариантов таких троек существует?

Сначала запишем ту команду, которая выиграет турнир. Здесь есть шесть вариантов, по количеству участвующих команд. Запишем эти варианты:

Далее выберем один из вариантов и для него укажем серебряного призера соревнований. Здесь есть только 5 вариантов, ведь 1 из 6 команд уже записана на 1-ом месте:

Такую пятерку можно записать для каждого из шести вариантов того, кто станет чемпионом. Получается, что всего есть 6•5 = 30 пар «чемпион – серебряный призер». Наконец, для одной такой пары можно записать 4 варианта того, кто окажется третьим (две команды писать нельзя, так как они уже записаны на первых двух строчках):

Для каждой пары можно записать 4 тройки призеров. Так как число пар «чемпион – вице-чемпион» равно 6•5 = 30, то число троек составит 6•5•4 = 120.

В данном случае из некоторого множества команд мы выбрали несколько и расположили их в каком-то порядке. То есть мы выбрали упорядоченное множество. В комбинаторике оно называется размещением.

Если общее число команд обозначить как n (в этом примере n = 6), а количество упорядочиваемых команд равно k, то количество таких размещений в комбинаторике обозначается как

В примере с командами количество размещений равнялось 120:

Читается эта запись как «число размещений из 6 по 3 равно 120».

Для нахождения этого числа мы перемножили k (3)множителей. Первый из них был равен n(6), так как каждая из n команд могла занять первая место. Второй множитель был равен (n– 1), так как после определения чемпиона мы могли поставить на вторую позицию одну из (n– 1) команд. Третий множитель был равен (n– 2). По этой логике каждый следующий множитель будет меньше предыдущего на единицу. Например, чтобы вычислить число размещений из 7 по 4, надо перемножить 4 множителя, первый из которых равен 7, а каждый следующий меньше на 1:

Однако математически удобнее представлять это произведение как отношение двух факториалов. Для этого умножим количество размещений на дробь 3!/3!, равную единице. Естественно, число размещений из-за умножения на единицу не меняется:

Число 3 в данном случае можно получить, если из 7 вычесть 4. В общем случае из числа n надо вычесть число k. Тогда формула для вычисления количества размещений примет вид:

Пример. В программе 8 «А» класса 12 различных предметов. В понедельник проводится 5 занятий подряд. Сколько существует вариантов расписаний для класса, если в течение понедельника нельзя проводить два одинаковых урока?

Решение. Для составления расписания нужно выбрать 5 предметов и расставить их по порядку. Поэтому нам необходимо найти размещение из 12 по 5:

Ответ: 95040

Пример. В вагоне 10 свободных мест. В него зашло 6 пассажиров. Сколькими способами они могут расположиться в вагоне?

Решение. Из десяти мест надо выбрать шесть и указать для каждого, какому пассажиру оно соответствует. То есть каждый вариант рассадки пассажиров – это размещение из 10 по 6. Найдем их количество:

Ответ: 151200

Заметим, что перестановка – это частный случай размещения, когда k = n. Действительно, если нам надо указать тройку призеров турнира, в котором участвуют 6 команд, то мы указываем размещение из 6 по 3. Но если мы указываем для каждой из 6 команд, какое место она займет в чемпионате, то это размещение из 6 по 6. С другой стороны, это расстановка одновременно является и перестановкой 6 команд. Убедимся, что в этом частном случае формула для подсчета количества размещений покажет тот же результат, что и формула для перестановок

Для примера с 6 командами это будет выглядеть так:

Здесь мы использовали тот факт, что факториал нуля принимается равным единице. Данное рассуждение можно, наоборот, использовать для того, чтобы доказать, что факториал нуля – это единица.

Сочетания

Выбирая размещение, мы должны были выбрать из множества несколько объектов и упорядочить их. В частности, мы выбирали три команды из шести и указывали, какая из них будет первой, какая второй, а какая третьей. Поэтому размещения «Локомотив, Зенит, Краснодар» и «Локомотив, Краснодар, Зенит» отличались друг от друга.

Однако порою этот порядок не имеет значения. Так, существует известная лотерея, где предлагается угадать 7 чисел из 49, которые выпадут во время розыгрыша из барабана. При этом порядок их выпадения не играет никакой роли. Игрок, выбирая эти 7 чисел, с точки зрения математики формирует сочетание из 49 по 7.

Количество возможных сочетаний из n по k обозначается буквой С:

Для вычисления количеств сочетаний из n по k сначала найдем количество аналогичных размещений. Оно вычисляется по формуле:

Однако ясно, что, как и в случае с перестановками с повторениями, некоторые сочетания мы посчитали несколько раз. Вернемся к примеру с командами. Если мы выбрали команды Л (Локомотив) , З (Зенит) и К (Краснодар), то мы можем составить ровно 3! = 6 размещений из них:

ЛЗК

ЛКЗ

ЗЛК

ЗКЛ

КЛЗ

КЗЛ

Однако все они соответствуют только одному сочетании – ЛКЗ. Таким образом, считая количество размещений, мы посчитали каждое сочетание не один, а 3! раз. Поэтому для нахождения количества сочетаний в комбинаторике надо поделить число размещений на число перестановок k элементов:

Эта формула связывает важнейшие понятия комбинаторики – перестановки, сочетания и размещения. Подставим в неё формулы для размещений и перестановок и получим:

Пример. Сколько троек призеров турнира можно составить, выбирая три футбольные команды из шести?

Решение. Посчитаем число сочетаний из 6 по 3:

Ответ: 20

Пример. Сколько комбинаций чисел может составить игрок, играющий в лотереи «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49»?

Решение. В каждом из этих случаев игрок выбирает сочетание нескольких чисел. Посчитаем их число:

Ответ: 376992; 8145060; 85900584

Пример. На плоскости отмечены 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через них? Сколько треугольников и четырехугольников можно построить с вершинами в этих точках?

Решение. Для того чтобы провести прямую, достаточно выбрать любые 2 точки из 8. Общее количество прямых будет равно числу сочетаний из 8 по 2:

Заметим принципиальную важность того условия, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Оно гарантирует, что при выборе двух различных точек мы будем получать различные прямые. Если бы, например, точки АВС лежали бы на одной прямой, то при выборе сочетаний АВ, ВС и АС мы получали бы одну и ту же прямую:

Это же условие гарантирует, что, выбрав любые 3 и 8 точек, мы сможем построить треугольник с вершинами в этих точках, а выбрав 4 точки, получим четырехугольник. Поэтому для подсчета количества треугольников и четырехугольников следует искать число сочетаний по 3 и 4:

Ответ: 28 прямых, 56 треугольников и 70 четырехугольников.

Пример. В одной урне находится 10 различных шаров с номерами от 0 до 9, а в другой – 8 различных шаров с первыми восемью буквами алфавита. По условиям лотереи ведущий вытаскивает из первой урны два шара с числами, а из второй – три шара с буквами. Для победы в лотерее надо угадать выпавшие шары. Сколько комбинаций шаров может выпасть в игре?

Решение. Посчитаем отдельно, сколькими способами можно выбрать 2 шара с цифрами из 10 и 3 шара с буквами из 8:

По правилу умножения мы должны перемножить эти числа, чтобы найти общее количество возможных вариантов:

56•45 = 2520

Ответ: 2520

Заметим, что выбирая, например, сочетание из 49 по 7, мы одновременно выбираем и сочетание из 49 по 49 – 7 = 42. Действительно, игрок, обводящий в кружок в лотерейном билете свои 7 счастливых чисел, одновременно и определяет остальные 42 числа, какие числа он НЕ считает счастливыми. Для наглядности запишем число сочетаний в обоих случаях:

Получили одну и ту же дробь, в которой отличается лишь последовательность множителей в знаменателе. Можно показать, что и в общем случае число сочетаний из n по k совпадает с количеством сочетаний из n по (n– k):

100urokov.ru

Сочетание без повторений | matematicus.ru

Сочетанием без повторений называют комбинации, составленные из n элементов по m элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Обозначение: $С_n^m$

Допустим, имеется три буквы А, В и С.

Составим всевозможные комбинации только из двух букв, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, ВС.

При подсчете числа сочетаний элементов — порядок не важен.

Запишем формулу сочетания

Пример 1

В классе 20 учащихся. Сколькими способами можно выделить двух человек для дежурства? Так как каждая группа учащихся в 2 человека должна отличаться хотя бы одним из учащихся. Отсюда, применим формулу комбинаторики — сочетание, имеем

Пример 2

Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,D}.

Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.

Решение

По формуле сочетания имеем,

 $C_4^3 =\frac{{4!}}{{\left( {4 — 3} \right)!\cdot3!}} = \frac{{4!}}{{3!}} = \frac{{1\cdot2\cdot3\cdot4}}{{1\cdot2\cdot3}} = 4$

Пример 3

В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наугад выбирается комплект из 5 деталей. Сколькими способами можно составить такой комплект, в котором 2 детали бракованные?

Решение

$C_{6}^2$ — количество способов выбора двух бракованных деталей из шести
$C_{3}^9$ — количество способов выбора трех исправных деталей из девяти
Тогда количество комбинаций по правилу умножения будет
$C_{6}^2·C_{3}^9=\frac{{6!}}{{(6-2)!2!}}·\frac{{9!}}{{(9-3)!3!}}=15·84=1260$

Пример 4

Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими?

Решение 
Так как путевки предоставлены в один санаторий, то варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. Поэтому число способов распределения равно

Пример 5
В научном конкурсе участвует 12 человек, из них 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими способами можно сформировать группу из 7 человек, чтобы в ней было 3 женщины?

Решение 
Из пяти женщин необходимо выбрать по три. Следователь, число таких способов отбора равно $С_5^3$

Число способов отбора мужчин, четырех из семи равно $С_7^4$

По формуле комбинаторики – сочетания, группу можно сформировать способами:

Пример 6

Сколькими способами можно составить суточный наряд по университету из одного офицера, двух сержантов и семи курсантов, если имеется 3 офицера, 6 сержантов и 30 курсантов?

Решение 
Число способов выбора офицера: $С_3^1$

сержантов $С_6^2$

по аналогии, число комбинаций выбора курсантов, получаем $С_30^7$

Итак, получаем число способов составления суточного наряда

www.matematicus.ru

Смотрите также

• 
  Как выбрать генератор электростанцию
• 
  Сгущенное молоко как выбрать
• 
  Как выбрать аромадиффузор
• 
  Как выбрать правильно школу для первоклассника
• 
  Как выбрать мобильный телефон для бабушки
• 
  Инфракрасные панели отопления как выбрать
• 
  Как выбрать имя мальчику по церковному календарю 2017
• 
  Как выбрать формат кадра
• 
  Как правильно выбрать бижутерию
• 
  Как выбрать медиатор для классической гитары
• 
  Размер мужского пиджака как выбрать